Pitagora!

Ho scoperto che il pavimento del mio bagno nasconde il Teorema di Pitagora.
Tranquilli, non è paranoia allo stato puro.
Ho letto molto volentieri e mi è molto piaciuto il libro di Alex Bellos Il meraviglioso mondo dei numeri. Qui, nel capitolo secondo, intitolato "Guarda!", vengono illustrati svariati metodi per dimostrare il Teorema di Pitagora. Fra cui quello attribuito al matematico persiano del 900 DC Annairizi, che si dimostra con la tassellatura di un pavimento.
Con questo link si può scaricare un documento pdf della tassellatura di Annairizi, ma anche dell'Alcazar di Siviglia e di un'opera di Vermeer.
Il pavimento del mio bagno è proprio come quello di Annairizi…

soluzione del 2º quesito con Albi

Visto che i somarelli dei miei 4-6 followers (sorelle, nipoti e amici) o non mi hanno badato, o non sono riusciti a risolvere il problemino geometrico, ecco dunque la soluzione.
Se considero x l'ipotenusa del triangolo A, il cateto corto di quel triangolo misura l - x: essi sono il lato l del quadrato, ripiegato!

Applicando il teorema di Pitagora vale la relazione:

  

risolvendo la quale risulta che x = 5/8 l.
E questa è la soluzione.
Infatti x è l'ipotenusa del triangolo A, il cateto corto (l - x) misura 3/8 l e il cateto lungo 1/2 l, che si può esprimere anche con 4/8 l.
E' facilmente dimostrabile che i triangoli A, B e C sono simili. Da ciò, con semplici calcoli algebrici, risultano le seguenti relazioni:

Il rapporto fra i lati di ciascun triangolo è di 3 : 4 : 5.
Infatti abbiamo:
A: 3/8 l, 4/8 l, 5/8 l
B: 3/6 l, 4/6 l, 5/6 l
C: 3/24 l, 4/24 l, 5/24 l
Il triangolo i cui lati hanno tale rapporto è un triangolo Egizio.
Perché Egizio?

origami… 2º quesito con Albi

Dato un foglio quadrato di lato l:

piegato il foglio in modo che l'angolo in basso a destra vada a combaciare con la metà del lato superiore:

si formeranno i triangoli A, B e C:

 

Qual è la misura dei lati di ciascun triangolo?
Qual è la caratteristica in comune ai tre triangoli?
(soluzione a pagina 46, anzi no, nel prossimo numero)

caminetto aureo

Il nostro caminetto! Pensato e schizzato in fretta su un foglietto in pizzeria, disegnato pensando ai rettangoli aurei:

ci sono almeno tre rettangoli (quasi) aurei

questo è il metodo di costruzione geometrica di un rettangolo aureo, partendo da un quadrato di lato unitario l.
Il rapporto:

è il numero irrazionale φ

φ  si ottiene dal rapporto fra l'ennesimo numero di Fibonacci e il precedente, per n tendente all'infinito:

Si possono trovare interessantissimi chiarimenti su φ e sulla sequenza di Fibonacci cliccando su questo link: La successione di Fibonacci - Corso di Studi in Matematica

Auguri e soluzione

Buona Pasqua a tutti!
La soluzione del 1º quesito con Albi.

I triangoli t e T sono simili, perché, essendo le loro basi parallele, i loro angoli sono uguali (1°, 2° o 3° criterio di similitudine?).
Essendo essi simili, vale la seguente:

Risolvendo il sistema:

 

si trova che:

E questa è la mia soluzione.

Cito la soluzione proposta da Valentina, da un vecchio libro di Ruffini, e quella di Davide, utile anche per agganciarsi al sito di Wolfram.

Cito una che ho trovato io, da un “Cours de mathématiques appliquées" del 1880 (!).
Questa mi è sembrata particolarmente bella perché vi è rappresentata anche la costruzione gemetrica:

 

Mi fa impazzire l’idea di andare in pizzeria con riga e compasso!

A conclusione, questo metodo per tagliare in due un triangolo vale per qualsiasi triangolo, anche non isoscele (che era l’esempio della mia fetta) e consiste nel disporre il taglio parallelamente ad un lato, intersecando gli altri due e l’altezza in modo che questi siano divisi secondo un rapporto di: